Máximos y mínimos de varias variables: guía y ejercicios

Para buscar máximos y mínimos de una función de varias variables no basta con igualar una derivada a cero. Hay que localizar candidatos interiores, clasificarlos, analizar la frontera del dominio y comparar valores si se piden extremos absolutos. La matriz hessiana resuelve muchos casos interiores; los multiplicadores de Lagrange permiten incorporar restricciones.

Esta guía desarrolla el procedimiento completo para funciones de dos variables, explica qué ocurre cuando el criterio de la hessiana no decide y resuelve ejemplos con y sin restricciones.

Extremos locales y absolutos

Sea una función

Decimos que $f$ tiene un mínimo local en $(a,b)$ si existe un entorno del punto tal que

para todos los puntos del dominio dentro de ese entorno. Es un máximo local si la desigualdad se invierte.

Un mínimo absoluto cumple la desigualdad en todo $D$; un máximo absoluto también se compara con todo el dominio. La diferencia es esencial: un valle pequeño puede ser un mínimo local y, sin embargo, existir otro punto con un valor menor.

En una variable solo podemos acercarnos por la izquierda o por la derecha. En dos variables hay infinitas direcciones. Por eso un punto puede ser mínimo a lo largo de una recta y máximo a lo largo de otra: eso produce un punto de silla.

En el mínimo, los niveles $1$, $4$ y $9$ aumentan al alejarse del centro; en el máximo, los niveles $-1$, $-4$ y $-9$ disminuyen hacia fuera, de modo que el valor central cero es el mayor. En el punto de silla aparecen dos familias de hipérbolas: la función sube en la dirección del eje $x$ y baja en la del eje $y$.

Primer paso: localizar todos los candidatos

Si $f$ es diferenciable y tiene un extremo local en un punto interior $(a,b)$, entonces

En dos variables hay que resolver el sistema

Las soluciones son puntos críticos o estacionarios, pero todavía no sabemos si son máximos, mínimos o puntos de silla.

La lista de candidatos también debe incluir:

• puntos interiores donde alguna derivada parcial no existe;
• puntos de la frontera del dominio;
• vértices y extremos de cada tramo de la frontera;
• comportamientos límite si el dominio no es cerrado o no está acotado.

Igualar el gradiente a cero solo encuentra candidatos interiores regulares. Es el equivalente multivariable de resolver $f'(x)=0$ sin mirar los extremos de un intervalo.

Matriz hessiana y criterio de la segunda derivada

La matriz hessiana de una función de dos variables es

Si las segundas parciales son continuas, las cruzadas coinciden. En un punto crítico definimos

El criterio es:

Si $D>0$, las curvaturas principales tienen el mismo signo. El signo de $f_{xx}$ distingue un cuenco de una cúpula. Si $D<0$, la superficie se curva hacia arriba en unas direcciones y hacia abajo en otras.

Esta tabla solo se aplica después de comprobar que el punto es crítico e interior. Si $D=0$, no puede concluirse «no hay extremo»: hace falta otro argumento.

Ejemplo 1: mínimo de una función cuadrática

Estudiemos

Buscamos los puntos críticos:

La única solución es $(2,-2)$. Las segundas parciales son

Por tanto,

y como $f_{xx}>0$, hay un mínimo local. En este caso podemos demostrar que es absoluto completando cuadrados:

Los cuadrados son no negativos, así que

con igualdad únicamente en $(2,-2)$. El mínimo absoluto vale $-11$ y no existe máximo porque la función crece sin cota al alejarnos.

La hessiana clasifica localmente; completar cuadrados proporciona además una prueba global.

Ejemplo 2: reconocer un punto de silla

Sea

El gradiente es $(2x,-2y)$ y solo se anula en $(0,0)$. Allí,

por lo que existe un punto de silla.

También puede verse comparando trayectorias. Sobre el eje $x$,

mientras que sobre el eje $y$,

En cualquier entorno del origen hay valores mayores y menores que $f(0,0)=0$. Esta prueba por caminos es especialmente útil cuando el criterio de segundo orden no decide.

Qué hacer cuando $D=0$

Considera dos funciones con el mismo resultado inconcluso:

Ambas tienen gradiente nulo en el origen y todas sus segundas parciales valen cero allí, de modo que $D=0$.

Sin embargo,

así que $f$ tiene un mínimo absoluto en el origen. Para $g$, sobre $y=0$ se obtienen valores positivos y sobre $x=0$ valores negativos; el origen es un punto de silla.

Cuando $D=0$, puedes:

1. 1.factorizar o completar cuadrados;
2. 2.estudiar el signo de $f(x,y)-f(a,b)$;
3. 3.aproximarte por distintas curvas;
4. 4.usar términos de orden superior de Taylor;
5. 5.explotar desigualdades o propiedades globales.

El objetivo es decidir si cerca del punto todos los valores quedan a un lado o aparecen valores a ambos lados.

Ejemplo 3: varios puntos críticos en un mismo problema

Estudiemos

Las ecuaciones del gradiente son independientes:

Por tanto, $x=\pm1$ e $y=\pm1$. Hay cuatro combinaciones, no dos:

Las segundas parciales son

así que $D=36xy$. En $(1,1)$, $D>0$ y $f_{xx}>0$: hay un mínimo local de valor $-4$. En $(-1,-1)$, $D>0$ y $f_{xx}<0$: hay un máximo local de valor $4$. En los dos puntos con signos mezclados, $D<0$ y aparecen puntos de silla, ambos de valor cero.

Ninguno de los extremos locales es absoluto. Sobre la recta $y=0$,

que tiende a $+\infty$ cuando $x\to+\infty$ y a $-\infty$ cuando $x\to-\infty$. El ejemplo separa tres tareas que suelen confundirse: resolver todas las combinaciones del sistema, clasificar localmente y estudiar después el comportamiento global.

Extremos absolutos en regiones cerradas y acotadas

El teorema de Weierstrass garantiza que una función continua sobre un conjunto compacto —cerrado y acotado en $\mathbb R^2$— alcanza máximo y mínimo absolutos. El teorema asegura que existen, pero no dice dónde.

El procedimiento es:

1. 1.Halla los puntos críticos del interior.
2. 2.Estudia cada parte de la frontera como un problema de una variable o mediante Lagrange.
3. 3.Incluye vértices, uniones y puntos donde la parametrización falla.
4. 4.Evalúa $f$ en todos los candidatos.
5. 5.Compara los valores.

La comparación final es imprescindible. La hessiana no identifica por sí sola el máximo absoluto sobre una región limitada.

Ejemplo 4: región triangular

Busquemos los extremos absolutos de

en el triángulo

En el interior, $\nabla f=(y,x)$ solo se anula en $(0,0)$, que está en la frontera, así que no hay candidatos interiores.

Analizamos los tres lados:

• Si $x=0$, entonces $f=0$.
• Si $y=0$, entonces $f=0$.
• Si $x+y=4$, escribimos $y=4-x$, con $0\le x\le4$.

En el tercer lado,

Como $g'(x)=4-2x$, el candidato es $x=2$, luego $y=2$ y $f(2,2)=4$. En los vértices $(0,0)$, $(4,0)$ y $(0,4)$, el valor es cero.

Por comparación, el máximo absoluto es $4$ en $(2,2)$ y el mínimo absoluto es $0$, alcanzado en los dos lados apoyados sobre los ejes.

Multiplicadores de Lagrange

Para optimizar $f(x,y)$ bajo una restricción suave

los extremos regulares satisfacen

Geométricamente, en un extremo restringido la curva de nivel de $f$ es tangente a la restricción. Sus vectores normales son paralelos, de ahí el multiplicador $\lambda$.

El sistema completo es

Debe revisarse aparte cualquier punto de la restricción donde $\nabla g=0$, porque la condición regular deja de ser aplicable.

Ejemplo 5: producto máximo en una circunferencia

Queremos hallar los extremos de

sujetos a $x^2+y^2=1$. Tomamos $g=x^2+y^2$:

El sistema es

Ni $x$ ni $y$ pueden ser cero, porque las dos primeras ecuaciones obligarían a que ambos lo fueran, contradiciendo la restricción. Multiplicando las relaciones o sustituyendo se obtiene $4\lambda^2=1$, así que $y=\pm x$.

Si $y=x$, entonces $2x^2=1$ y aparecen

con valor $1/2$. Si $y=-x$, aparecen los otros dos puntos diagonales, con valor $-1/2$.

Como la circunferencia es compacta y $f$ es continua, la comparación demuestra que el máximo absoluto es $1/2$ y el mínimo absoluto es $-1/2$.

Ejemplo 6: distancia mínima con una restricción

Hallemos el punto de la recta

más cercano al origen. Minimizar la distancia $\sqrt{x^2+y^2}$ equivale a minimizar

porque la raíz cuadrada es creciente. Con $g=x+2y$:

Así,

de donde $x=\lambda/2$ e $y=\lambda$. La restricción da

luego $\lambda=12/5$. El punto es

La distancia mínima vale

El vector que une el origen con el punto es paralelo a $(1,2)$, normal a la recta, lo que confirma la solución geométricamente.

Ejemplo 7: dominio no acotado

Sea

en todo $\mathbb R^2$. El único punto crítico satisface

por lo que es $(1,0)$. La hessiana es $2I$, positiva definida, y el punto es un mínimo local. Además,

así que es mínimo absoluto.

No hay máximo: tomando $(x,y)=(t,0)$, $f(t,0)=t^2-2t\to+\infty$. En dominios no compactos hay que estudiar estos comportamientos; Weierstrass ya no garantiza extremos absolutos.

Hessiana, autovalores y forma cuadrática

El criterio del determinante es la versión bidimensional de una idea más general. Cerca de un punto crítico, el término cuadrático de Taylor es

Si la hessiana es positiva definida, ese término es positivo en toda dirección no nula y aparece un mínimo. Si es negativa definida, aparece un máximo. Si es indefinida, hay direcciones con signos opuestos y el punto es de silla.

En dimensiones mayores suele clasificarse mediante autovalores o menores principales:

• todos los autovalores positivos: mínimo local;
• todos negativos: máximo local;
• signos mezclados: punto de silla;
• algún autovalor cero: el criterio puede ser inconcluso.

Esta interpretación conecta la optimización con el álgebra lineal sin convertir el cálculo en una tabla memorizada.

Restricciones por desigualdades

Una condición como $g(x,y)\le c$ no se trata imponiendo Lagrange en todos los puntos. El interior de la región se estudia con $\nabla f=0$; la igualdad $g=c$ describe solo la frontera y se analiza después. En un disco $x^2+y^2\le1$, por ejemplo, debes combinar los candidatos interiores con los obtenidos sobre la circunferencia.

Si hay varias desigualdades, la frontera puede tener tramos distintos y vértices donde se activan dos restricciones. En cursos avanzados esta situación se formaliza con las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. En un primer curso suele ser más claro separar geométricamente interior, lados y vértices, como hicimos en el triángulo.

Antes de calcular, comprueba además si el conjunto es compacto. Una restricción cerrada como $x^2+y^2=1$ es compacta; la recta $x+y=1$ no está acotada. En la primera se alcanzan máximo y mínimo para toda función continua, mientras que en la segunda puede existir solo uno o ninguno.

La existencia debe decidirse antes de interpretar candidatos. Un valor límite que no se alcanza puede ser supremo o ínfimo sin constituir un máximo o mínimo.

Errores frecuentes

Clasificar sin resolver todo el sistema

Las ecuaciones $f_x=0$ y $f_y=0$ deben cumplirse simultáneamente. Resolverlas por separado y combinar valores arbitrariamente crea puntos que no son críticos.

Olvidar la frontera

En una región cerrada, un extremo absoluto aparece con frecuencia en un lado o un vértice. El gradiente interior no puede detectarlo.

Interpretar $D=0$ como ausencia de extremo

El criterio simplemente no decide. Debes estudiar el signo, caminos o términos de orden superior.

Aplicar Lagrange sin la restricción

Las ecuaciones de paralelismo generan candidatos, pero todos deben satisfacer $g=c$. También hay que comprobar puntos no regulares y comparar valores.

Optimizar una expresión más difícil de lo necesario

Para distancias suele minimizarse el cuadrado; para productos positivos a veces ayuda el logaritmo. La transformación debe preservar el orden de los valores en el dominio.

Ejercicios propuestos

1. 1.Clasifica los puntos críticos de $f=x^2+xy+y^2$.
2. 2.Clasifica el origen para $f=x^3-3xy^2$.
3. 3.Estudia el origen para $f=x^4+2x^2y^2+y^4$.
4. 4.Halla los extremos absolutos de $f=x+y$ en $x^2+y^2\le1$.
5. 5.Halla los extremos de $f=x^2+y^2$ sujetos a $x+y=1$.
6. 6.Maximiza $xyz$ para $x,y,z>0$ y $x+y+z=12$.
7. 7.Halla el punto de $x^2+y^2=4$ más cercano a $(3,0)$.
8. 8.Busca los extremos absolutos de $f=x^2-y$ en $0\le x\le2$, $0\le y\le1$.
9. 9.Decide si $f=e^{x^2+y^2}$ tiene máximo o mínimo en $\mathbb R^2$.
10. 10.Explica por qué $f=x^2+y^2$ no tiene máximo en el disco abierto $x^2+y^2<1$.

Soluciones

Ejercicio 1

El gradiente es

y solo se anula en el origen. Allí

así que hay un mínimo. Además,

por lo que el mínimo es absoluto.

Ejercicio 2

El origen es el único punto crítico y $D=0$. En coordenadas polares,

que toma ambos signos arbitrariamente cerca del origen. Es un punto de silla.

Ejercicio 3

La función es $(x^2+y^2)^2\ge0$. Aunque $D=0$ en el origen, allí se alcanza un mínimo absoluto de valor cero.

Ejercicio 4

No hay puntos críticos interiores. En la circunferencia, Lagrange da $(1,1)=2\lambda(x,y)$, luego $x=y=\pm1/\sqrt2$ con el mismo signo. El máximo es $\sqrt2$ en $(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$ y el mínimo $-\sqrt2$ en el opuesto.

Ejercicio 5

Lagrange da $(2x,2y)=\lambda(1,1)$, así que $x=y$. Con $x+y=1$, resulta $(1/2,1/2)$ y el mínimo es $1/2$. Sobre la recta no hay máximo porque $x^2+(1-x)^2\to+\infty$ cuando $|x|\to\infty$.

Ejercicio 6

Las ecuaciones $yz=\lambda$, $xz=\lambda$ y $xy=\lambda$ implican $x=y=z$ al ser positivas. La restricción da $x=y=z=4$ y el producto máximo es $64$. La positividad y la desigualdad AM-GM confirman que es máximo global.

Ejercicio 7

La distancia cuadrada es $(x-3)^2+y^2$. Sobre la circunferencia se simplifica a $13-6x$, así que se minimiza maximizando $x$. El punto es $(2,0)$ y la distancia mínima vale $1$.

Ejercicio 8

No hay puntos críticos interiores porque $f_y=-1$. En el rectángulo, $x^2$ varía entre $0$ y $4$, y $-y$ entre $-1$ y $0$. El mínimo es $-1$ en $(0,1)$ y el máximo es $4$ en $(2,0)$.

Ejercicio 9

El gradiente $2e^{x^2+y^2}(x,y)$ se anula solo en el origen. Allí hay un mínimo absoluto de valor $1$, porque $x^2+y^2\ge0$. No existe máximo: la función tiende a infinito cuando aumenta la distancia al origen.

Ejercicio 10

Todos los valores cumplen $f<1$, pero pueden acercarse tanto como se quiera a $1$ al aproximarse a la circunferencia. El supremo es $1$, pero no se alcanza porque la frontera no pertenece al dominio. Por tanto, no hay máximo absoluto.

Resumen operativo

Primero separa el problema interior del problema de frontera. En el interior, resuelve $\nabla f=0$ y clasifica con la hessiana; si el determinante es cero, cambia de argumento. En una región compacta, analiza cada frontera y compara todos los candidatos. Con una restricción regular, Lagrange expresa el paralelismo de los gradientes, pero no evita la comprobación final.

Conviene dominar antes las derivadas parciales y el gradiente. Si necesitas practicar clasificaciones y restricciones con los ejercicios de tu asignatura, puedes consultar las clases particulares de Cálculo universitario.