Problemas de optimización con derivadas: ejercicios resueltos

Resolver un problema de optimización consiste en traducir una situación a una función, determinar su dominio y localizar dónde alcanza un máximo o un mínimo. Derivar es solo una parte: la mayor dificultad suele estar en elegir variables, usar la restricción y comprobar que la solución tiene sentido.

Antes de trabajar problemas aplicados conviene dominar la interpretación de las derivadas, especialmente la relación entre el signo de la pendiente y el crecimiento de una función.

El esquema que funciona

Un problema completo se resuelve en este orden:

1. 1.Identifica la magnitud que se quiere maximizar o minimizar.
2. 2.Define las variables con unidades.
3. 3.Traduce las restricciones a ecuaciones o desigualdades.
4. 4.Expresa la función objetivo con una sola variable.
5. 5.Determina el dominio físico o matemático.
6. 6.Busca puntos críticos interiores.
7. 7.Compara candidatos y extremos del dominio.
8. 8.Interpreta el resultado en las variables originales.
9. 9.Comprueba unidades, restricciones y tipo de extremo.

Empezar derivando antes de construir la función objetivo suele producir una ecuación correcta para el objeto equivocado.

Máximos locales y absolutos

Una función $f$ tiene un máximo local en $x=a$ si $f(a)$ es mayor o igual que los valores suficientemente próximos. Es un máximo absoluto en un dominio $D$ si

Las definiciones de mínimo invierten la desigualdad. Un extremo local describe el entorno; uno absoluto compara todo el dominio.

Si $f$ es derivable y tiene un extremo local en un punto interior $a$, el teorema de Fermat asegura que

La condición es necesaria bajo esas hipótesis, pero no suficiente. En $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ y no hay máximo ni mínimo.

Qué puntos deben comprobarse

Los candidatos a extremo absoluto son:

• puntos interiores donde $f'(x)=0$;
• puntos interiores donde $f'$ no existe;
• extremos incluidos del intervalo;
• límites en fronteras abiertas o infinitas cuando el dominio no es cerrado.

La continuidad y derivabilidad desempeñan papeles distintos. La continuidad en un intervalo cerrado garantiza que máximo y mínimo absolutos se alcanzan; la derivabilidad permite localizar candidatos interiores mediante la pendiente.

Cómo decidir si un candidato es máximo o mínimo

Criterio del signo de la primera derivada

Si $f'$ cambia de positivo a negativo, $f$ pasa de crecer a decrecer y hay un máximo local. Si cambia de negativo a positivo, hay un mínimo local.

Este criterio funciona aunque $f''$ no exista.

Criterio de la segunda derivada

Si $f'(a)=0$ y $f''(a)>0$, hay un mínimo local. Si $f''(a)<0$, hay un máximo local. Cuando $f''(a)=0$, el criterio no concluye.

Comparación de valores

En un intervalo cerrado, evaluar la función en todos los candidatos y en los extremos es el procedimiento más directo para clasificar extremos absolutos.

Concavidad y garantías globales

Si $f''(x)<0$ en todo un intervalo, $f$ es estrictamente cóncava. Cualquier punto crítico interior es entonces el único máximo global del intervalo. Si $f''(x)>0$, la función es estrictamente convexa y un punto crítico es el único mínimo global.

Esta información es más fuerte que el criterio local de la segunda derivada. Comprobar solo $f''(a)<0$ describe el comportamiento cerca de $a$; comprobar el signo en todo el dominio puede resolver la comparación global.

En muchos modelos de beneficio aparece una cuadrática cóncava, mientras que costes formados por una cantidad y su inversa suelen ser convexos en el dominio positivo.

Ejemplo 1 — función en un intervalo cerrado

Halla los extremos absolutos de

en $[-2,3]$.

Derivamos:

Los puntos críticos interiores son $x=-1$ y $x=1$. Evaluamos también los extremos:

El máximo absoluto es $18$ en $x=3$. El mínimo absoluto es $-2$ y se alcanza tanto en $x=-2$ como en $x=1$.

Este ejemplo muestra dos detalles: un extremo global puede estar en la frontera y el mismo valor extremo puede alcanzarse en varios puntos.

Modelizar antes de derivar

En problemas verbales suele haber dos expresiones:

• la función objetivo, que representa área, volumen, coste, beneficio o distancia;
• la restricción, que relaciona las variables disponibles.

La restricción permite eliminar variables. Después debe trasladarse también al dominio: longitudes positivas, cantidades no negativas, capacidad limitada o valores para los que las fórmulas están definidas.

Ejemplo 2 — rectángulo con perímetro fijo

Entre todos los rectángulos de perímetro $40$ metros, encuentra el de área máxima.

Sean $x$ e $y$ las longitudes de los lados. La restricción es

de donde $y=20-x$. El área es

Las longitudes no pueden ser negativas, así que $0\leq x\leq20$. Derivamos:

El único punto crítico es $x=10$. Como $A''(x)=-2<0$, es un máximo. Entonces $y=10$ y

Comprobación. En los extremos degenerados $x=0$ y $x=20$, el área es cero. El candidato interior es necesariamente el máximo absoluto. El rectángulo óptimo resulta ser un cuadrado.

Ejemplo 3 — cercado junto a un río

Disponemos de $100$ metros de valla para cerrar tres lados de un rectángulo; el cuarto lado coincide con un río y no necesita valla. ¿Qué dimensiones maximizan el área?

Sea $x$ la longitud de cada lado perpendicular al río e $y$ el lado paralelo. La restricción es

así que $y=100-2x$. La función objetivo es

El dominio físico es $0\leq x\leq50$. Derivamos:

El punto crítico es $x=25$. Entonces $y=50$ y

Como $A''=-4<0$ y los extremos del dominio dan área cero, es el máximo absoluto.

Ejemplo 4 — caja sin tapa

De una lámina rectangular de $30$ cm por $20$ cm se recortan cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas. Al plegar se forma una caja sin tapa. Encuentra el valor de $x$ que maximiza el volumen.

Las dimensiones de la caja son

El volumen es

Para que todas las dimensiones sean no negativas,

Desarrollamos y derivamos:

Las raíces son

La raíz con signo positivo es mayor que $10$ y queda fuera del dominio. El único candidato interior válido es

Además, $V(0)=V(10)=0$, mientras que el candidato produce volumen positivo. Por tanto, es el máximo absoluto.

Interpretación. No basta con resolver $V'(x)=0$: una de las dos soluciones algebraicas no puede construir una caja y debe descartarse por el dominio.

Ejemplo 5 — cilindro con volumen fijo

Un cilindro cerrado debe tener volumen $V_0$. Determina la relación entre radio y altura que minimiza su superficie.

La restricción es

con $r>0$ y $h>0$. Despejamos

La superficie total incluye dos bases y la superficie lateral:

Sustituyendo la restricción,

Derivamos:

La condición $S'(r)=0$ da

Como

el punto es un mínimo. Al volver a la restricción se obtiene

La altura óptima coincide con el diámetro. Esta relación es independiente del volumen concreto.

Ejemplo 6 — distancia mínima a una curva

Encuentra los puntos de la parábola $y=x^2$ más próximos al punto $(0,3)$.

Un punto de la parábola es $(x,x^2)$. Su distancia al punto dado es

Como la raíz cuadrada es creciente, minimizar $D$ equivale a minimizar

Esta elección evita derivar una raíz. Derivamos:

Los candidatos son

Evaluamos:

Los dos puntos más próximos son

y la distancia mínima es $\sqrt{11}/2$. La simetría explica que haya dos soluciones.

Ejemplo 7 — beneficio económico

Una empresa vende $q$ unidades a un precio por unidad

y tiene coste total

El ingreso es precio por cantidad:

El beneficio es

El precio exige $0\leq q\leq100$. Derivamos:

El candidato es $q=40$, y $B''(q)=-2<0$. Por tanto,

maximiza el beneficio dentro del modelo. El precio correspondiente es $60$ y el beneficio máximo es

Las unidades monetarias deben indicarse según el enunciado. El modelo supone que pueden venderse cantidades continuas; si $q$ tuviera que ser entero, se compararían los enteros próximos al candidato.

Ejemplo 8 — coste medio mínimo

El coste total de producir $q>0$ unidades es

El coste medio es

Derivamos:

El único candidato positivo es $q=10$. Como

es un mínimo. El coste medio mínimo vale

No se estaba minimizando el coste total, que crece con $q$, sino el coste por unidad. Nombrar correctamente la función objetivo cambia el problema.

Ejemplo 8 bis — rectángulo bajo una parábola

Un rectángulo tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto $(x,y)$ sobre la parábola

en el primer cuadrante. Encuentra el área máxima.

La propia curva proporciona la restricción. El área es

El primer cuadrante exige $x\geq0$ e $y\geq0$, de modo que

Derivamos:

El candidato del dominio es $x=2$. La altura correspondiente es $y=8$, y

Como $A''(x)=-6x<0$ para $x>0$ y el área se anula en los dos extremos, el candidato es el máximo absoluto.

Este problema muestra por qué el dominio debe deducirse de la geometría antes de resolver $A'=0$: la ecuación también produce $x=-2$, que no pertenece al primer cuadrante.

Dominios abiertos y extremos que no se alcanzan

Si el dominio no es cerrado, una función puede acercarse a su mejor valor sin alcanzarlo. Por ejemplo, $f(x)=x$ en $(0,1)$ no tiene máximo: todos sus valores son menores que $1$, pero $1$ no pertenece al dominio. Tampoco tiene mínimo.

Por eso no basta con afirmar que una función continua «tiene máximo y mínimo». El teorema de Weierstrass requiere un intervalo cerrado y acotado.

Restricciones y soluciones no válidas

Una raíz de $f'(x)=0$ puede quedar fuera del dominio físico. También pueden aparecer puntos donde la fórmula reducida está definida pero la situación original no: longitudes nulas, denominadores cero o cantidades negativas.

Después de optimizar hay que reconstruir todas las variables y comprobar:

• que satisfacen la restricción;
• que tienen las unidades correctas;
• que pertenecen al dominio;
• que producen realmente el mejor valor frente a los demás candidatos.

Existencia antes de buscar la solución

Antes de derivar conviene preguntar si el máximo o mínimo tiene que existir. Una función continua sobre un dominio compacto —cerrado y acotado en una variable— alcanza ambos extremos. En un intervalo abierto o no acotado hay que estudiar límites en la frontera.

En el problema del cilindro, por ejemplo,

tiende a $+\infty$ tanto cuando $r\to0^+$ como cuando $r\to\infty$. Si existe un único punto crítico y la función es convexa, ese punto debe ser el mínimo global. Este argumento completa la clasificación local de $S''>0$.

También puede ocurrir que el objetivo no esté acotado. Si una restricción permite aumentar indefinidamente una variable y la función objetivo crece con ella, no existe máximo finito. La respuesta correcta no es buscar una raíz de la derivada, sino demostrar que los valores pueden superar cualquier cota.

Problemas discretos

La derivada trabaja con variables continuas. Si una cantidad debe ser entera, el punto crítico continuo orienta la búsqueda, pero la solución final exige comparar enteros admisibles próximos.

Ejemplo 9 — número entero de unidades

Supón que el beneficio modelizado es

y solo pueden fabricarse unidades enteras. El máximo continuo está en $12{,}4$. Los candidatos enteros relevantes son $12$ y $13$:

El máximo discreto se alcanza en $n=12$. Redondear automáticamente al entero más cercano suele funcionar en una parábola simétrica, pero comparar los candidatos es la justificación correcta.

Cómo redactar una solución completa

Una buena respuesta no empieza con una derivada aislada. Debe incluir:

1. 1.«Sea $x$…», con significado y unidades.
2. 2.Restricción y despeje.
3. 3.Función objetivo reducida.
4. 4.Dominio.
5. 5.Derivada y puntos críticos.
6. 6.Criterio usado para clasificar.
7. 7.Recuperación de las demás variables.
8. 8.Respuesta verbal con unidades.

Esta estructura permite detectar si una cuenta algebraicamente correcta responde realmente a lo pedido.

Errores frecuentes

• Derivar la restricción en vez de la función objetivo. La restricción sirve para eliminar variables.
• Mantener dos variables sin método adicional. En problemas elementales debe reducirse a una.
• No escribir el dominio. Pueden aceptarse soluciones geométricamente imposibles.
• Resolver $f'=0$ y detenerse. También hay que clasificar y comparar.
• Olvidar extremos del intervalo. Un máximo absoluto puede estar en la frontera.
• Usar solo la segunda derivada cuando vale cero. En ese caso no concluye.
• Confundir máximo local y absoluto. El enunciado suele pedir una magnitud global.
• Minimizar la distancia con una raíz innecesaria. Minimizar su cuadrado suele ser más sencillo.
• Redondear demasiado pronto. Conserva valores exactos hasta la interpretación final.
• No volver al problema. El valor de $x$ puede ser un recorte, no la dimensión solicitada.

Cómo comprobar el resultado

Sustituye la solución en la restricción y en la función objetivo. Compara con los demás candidatos y prueba valores cercanos para detectar si el comportamiento coincide con un máximo o un mínimo.

Revisa también la escala: un área no puede tener unidades lineales, un volumen no puede ser negativo y un coste medio debe expresarse por unidad. La concavidad global puede simplificar la prueba: una cuadrática con coeficiente principal negativo tiene un único máximo.

Ejercicios propuestos

1. 1.Dos números positivos suman $20$. Maximiza su producto.
2. 2.Minimiza $f(x)=x+9/x$ para $x>0$.
3. 3.Un rectángulo tiene un vértice en el origen y el opuesto sobre $y=12-x^2$ en el primer cuadrante. Maximiza su área.
4. 4.Halla los extremos absolutos de $f(x)=x^4-4x^2$ en $[-3,3]$.
5. 5.Si el precio es $p(q)=60-2q$, maximiza el ingreso para $q\geq0$ y precio no negativo.
6. 6.Un cercado rectangular junto a un río dispone de $240$ metros para tres lados. Halla las dimensiones óptimas.
7. 7.Encuentra el punto de la recta $y=2x+1$ más próximo al origen.
8. 8.Explica por qué $f(x)=1-1/x$ no alcanza máximo en $[1,\infty)$.

Soluciones

1. Producto máximo. Si los números son $x$ y $20-x$,

$P'(x)=20-2x=0$ da $x=10$. Ambos números son $10$ y el producto máximo es $\boxed{100}$.

2. Mínimo.

da $x=3$ en el dominio positivo. Como $f''(x)=18/x^3>0$, el mínimo es $\boxed{f(3)=6}$.

3. Área bajo una parábola. El vértice opuesto es $(x,12-x^2)$, con $0\leq x\leq\sqrt{12}$. Entonces

El candidato positivo es $x=2$, la altura es $8$ y el área máxima es $\boxed{16}$.

4. Comparación de candidatos.

así que los candidatos son $0$ y $\pm\sqrt2$, además de $\pm3$. Los valores son $0$, $-4$ y $45$, respectivamente. El mínimo absoluto es $-4$ en $x=\pm\sqrt2$ y el máximo es $45$ en $x=\pm3$.

5. Ingreso.

$R'(q)=60-4q=0$ da $q=15$. El ingreso máximo es $\boxed{450}$.

6. Tres lados. Si $x$ es cada lado perpendicular, $y=240-2x$ y

$A'(x)=240-4x=0$ da $x=60$, $y=120$ y área máxima $\boxed{7200\text{ m}^2}$.

7. Distancia al origen. Un punto es $(x,2x+1)$. Minimizamos

$Q'(x)=10x+4=0$ da $x=-2/5$ y $y=1/5$. El punto buscado es $\boxed{(-2/5,1/5)}$.

8. Supremo no alcanzado. Para $x\geq1$, $f'(x)=1/x^2>0$ y la función crece. Además, $f(x)<1$ para todo $x$ finito, aunque $f(x)\to1$ cuando $x\to\infty$. Su supremo es $1$, pero no existe máximo.

Resumen práctico

Optimizar exige modelizar, reducir a una variable, fijar el dominio y comparar todos los candidatos. Los puntos con derivada cero son posibilidades, no respuestas automáticas. Extremos, puntos no derivables y restricciones físicas forman parte del análisis.

Una respuesta queda cerrada cuando recupera todas las variables originales, demuestra el carácter global del extremo y expresa el resultado con unidades. La concavidad, los valores de frontera y los límites del dominio son herramientas de comprobación, no pasos opcionales.

Si el modelo admite solo valores enteros, compara los enteros cercanos al óptimo continuo. Si el dominio es abierto o infinito, estudia sus fronteras mediante límites antes de afirmar que el mejor valor se alcanza.

Si necesitas practicar modelización y comprobación sobre problemas de tu asignatura, puedes consultar las clases particulares de Cálculo universitario.