Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: problemas universitarios resueltos

La probabilidad condicionada y el teorema de Bayes aparecen en asignaturas de Estadística, Ingeniería, Economía, Ciencia de Datos y Biomedicina. El problema no suele ser la fórmula, sino saber qué evento está condicionado por cuál.

La probabilidad condicionada se define como:

P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

siempre que $P(B)>0$ . Se lee: probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$ .

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes permite invertir una condición:

P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

Cuando $B$ puede ocurrir bajo varios escenarios $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , se usa:

P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B|A_j)P(A_j)}

La parte difícil suele estar en calcular bien el denominador: la probabilidad total de observar $B$ .

Problema 1: test médico

Una enfermedad afecta al 2% de la población. Un test da positivo en el 95% de los enfermos y también da positivo en el 4% de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma?

Definimos:

$E$ : estar enfermo.
$+$ : test positivo.

Datos:

P(E)=0.02,\quad P(+|E)=0.95,\quad P(+|\overline{E})=0.04

Aplicamos Bayes:

P(E|+)=\frac{P(+|E)P(E)}{P(+|E)P(E)+P(+|\overline{E})P(\overline{E})}

Sustituimos:

P(E|+)=\frac{0.95\cdot 0.02}{0.95\cdot 0.02+0.04\cdot 0.98}

Calculando:

P(E|+)=\frac{0.019}{0.0582}\approx 0.326

La probabilidad es aproximadamente 32.6%. El resultado sorprende porque la enfermedad es poco frecuente: la prevalencia importa.

Problema 2: urnas

Hay dos urnas. La urna 1 tiene 3 bolas rojas y 2 azules. La urna 2 tiene 1 bola roja y 4 azules. Se elige una urna al azar y después se extrae una bola. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna 1?

Definimos:

$U_1$ : elegir urna 1.
$U_2$ : elegir urna 2.
$R$ : extraer bola roja.

Datos:

P(U_1)=P(U_2)=\frac{1}{2}

Además:

P(R|U_1)=\frac{3}{5},\quad P(R|U_2)=\frac{1}{5}

Bayes:

P(U_1|R)=\frac{P(R|U_1)P(U_1)}{P(R|U_1)P(U_1)+P(R|U_2)P(U_2)}

Sustituyendo:

P(U_1|R)=\frac{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}} =\frac{3}{4}

La probabilidad es 75%.

Problema 3: producción defectuosa

Una fábrica tiene dos máquinas. La máquina A produce el 70% de las piezas y la máquina B el 30%. A tiene una tasa de defectos del 3% y B del 8%. Si una pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que venga de B?

Datos:

P(A)=0.7,\quad P(B)=0.3

P(D|A)=0.03,\quad P(D|B)=0.08

Aplicamos:

P(B|D)=\frac{P(D|B)P(B)}{P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)}

Sustituimos:

P(B|D)=\frac{0.08\cdot 0.3}{0.03\cdot 0.7+0.08\cdot 0.3} =\frac{0.024}{0.045}\approx 0.533

Aunque B produce menos piezas, explica aproximadamente el 53.3% de las defectuosas porque su tasa de defectos es mayor.

Errores frecuentes

Confundir $P(A|B)$ con $P(B|A)$ .
Ignorar la probabilidad base o prevalencia.
Calcular el denominador con un solo caso.
No definir eventos antes de operar.
Pasar porcentajes a decimales de forma incorrecta.

Método para resolver problemas de Bayes

Sigue siempre estos pasos:

1.Define eventos con letras claras.
2.Escribe lo que te dan como probabilidades condicionadas o marginales.
3.Identifica qué probabilidad te piden.
4.Construye el denominador con probabilidad total.
5.Interpreta el resultado en el contexto.

Si estás preparando Estadística, también puedes leer Estadística desde cero para elegir contrastes o revisar la página de clases particulares de Estadística y Probabilidad.

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: problemas universitarios resueltos

Teorema de Bayes

Problema 1: test médico

Problema 2: urnas

Problema 3: producción defectuosa

Errores frecuentes

Método para resolver problemas de Bayes

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