Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: problemas universitarios resueltos

La probabilidad condicionada y el teorema de Bayes aparecen en asignaturas de Estadística, Ingeniería, Economía, Ciencia de Datos y Biomedicina. El problema no suele ser la fórmula, sino saber qué evento está condicionado por cuál.

La probabilidad condicionada se define como:

P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

siempre que $P(B)>0$ . Se lee: probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$ .

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes permite invertir una condición:

P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

Cuando $B$ puede ocurrir bajo varios escenarios $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , se usa:

P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B|A_j)P(A_j)}

La parte difícil suele estar en calcular bien el denominador: la probabilidad total de observar $B$ .

Problema 1: test médico

Una enfermedad afecta al 2% de la población. Un test da positivo en el 95% de los enfermos y también da positivo en el 4% de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma?

Definimos:

$E$ : estar enfermo.
$+$ : test positivo.

Datos:

P(E)=0.02,\quad P(+|E)=0.95,\quad P(+|\overline{E})=0.04

Aplicamos Bayes:

P(E|+)=\frac{P(+|E)P(E)}{P(+|E)P(E)+P(+|\overline{E})P(\overline{E})}

Sustituimos:

P(E|+)=\frac{0.95\cdot 0.02}{0.95\cdot 0.02+0.04\cdot 0.98}

Calculando:

P(E|+)=\frac{0.019}{0.0582}\approx 0.326

La probabilidad es aproximadamente 32.6%. El resultado sorprende porque la enfermedad es poco frecuente: la prevalencia importa.

Problema 2: urnas

Hay dos urnas. La urna 1 tiene 3 bolas rojas y 2 azules. La urna 2 tiene 1 bola roja y 4 azules. Se elige una urna al azar y después se extrae una bola. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna 1?

Definimos:

$U_1$ : elegir urna 1.
$U_2$ : elegir urna 2.
$R$ : extraer bola roja.

Datos:

P(U_1)=P(U_2)=\frac{1}{2}

Además:

P(R|U_1)=\frac{3}{5},\quad P(R|U_2)=\frac{1}{5}

Bayes:

P(U_1|R)=\frac{P(R|U_1)P(U_1)}{P(R|U_1)P(U_1)+P(R|U_2)P(U_2)}

Sustituyendo:

P(U_1|R)=\frac{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}} =\frac{3}{4}

La probabilidad es 75%.

Problema 3: producción defectuosa

Una fábrica tiene dos máquinas. La máquina A produce el 70% de las piezas y la máquina B el 30%. A tiene una tasa de defectos del 3% y B del 8%. Si una pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que venga de B?

Datos:

P(A)=0.7,\quad P(B)=0.3

P(D|A)=0.03,\quad P(D|B)=0.08

Aplicamos:

P(B|D)=\frac{P(D|B)P(B)}{P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)}

Sustituimos:

P(B|D)=\frac{0.08\cdot 0.3}{0.03\cdot 0.7+0.08\cdot 0.3} =\frac{0.024}{0.045}\approx 0.533

Aunque B produce menos piezas, explica aproximadamente el 53.3% de las defectuosas porque su tasa de defectos es mayor.

Errores frecuentes

Confundir $P(A|B)$ con $P(B|A)$ .
Ignorar la probabilidad base o prevalencia.
Calcular el denominador con un solo caso.
No definir eventos antes de operar.
Pasar porcentajes a decimales de forma incorrecta.

Método para resolver problemas de Bayes

Sigue siempre estos pasos:

Define eventos con letras claras.
Escribe lo que te dan como probabilidades condicionadas o marginales.
Identifica qué probabilidad te piden.
Construye el denominador con probabilidad total.
Interpreta el resultado en el contexto.

Si estás preparando Estadística universitaria, también puedes leer Estadística desde cero para elegir contrastes o revisar la página de clases particulares de Estadística universitaria.

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes: problemas universitarios resueltos

Teorema de Bayes

Problema 1: test médico

Problema 2: urnas

Problema 3: producción defectuosa

Errores frecuentes

Método para resolver problemas de Bayes

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