Matemáticas universitarias

Derivadas e integrales universitarias: prueba de nivel con ejercicios resueltos

Prueba de nivel de derivadas e integrales universitarias con ejercicios resueltos para detectar errores antes del examen de Cálculo.

· 2 min de lectura

Esta prueba de nivel de derivadas e integrales universitarias sirve para saber si tienes la base de Cálculo suficientemente firme antes de entrar en problemas más largos. No mide velocidad. Mide criterio.

Haz primero los ejercicios sin mirar la solución. Después revisa no solo el resultado, sino el método elegido.

Ejercicio 1: derivada con regla de la cadena

Calcula:

f(x)=ln⁡(1+x2)f(x)=\ln(1+x^2)

Solución:

f′(x)=11+x2⋅2x=2x1+x2f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^2}

Qué comprueba: si reconoces que el logaritmo tiene una función interna. El error habitual es escribir 1/(1+x2)1/(1+x^2) y olvidar multiplicar por 2x2x.

Ejercicio 2: recta tangente

Encuentra la recta tangente a f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2x en x=1x=1.

Primero:

f(1)=1−2=−1f(1)=1-2=-1

La derivada es:

f′(x)=3x2−2f'(x)=3x^2-2

Por tanto:

f′(1)=1f'(1)=1

La recta tangente:

y=f(1)+f′(1)(x−1)y=f(1)+f'(1)(x-1)

queda:

y=−1+(x−1)=x−2y=-1+(x-1)=x-2

Qué comprueba: interpretación de la derivada como pendiente local.

Ejercicio 3: integral inmediata con cambio de variable

Calcula:

∫3x2ex3 dx\int 3x^2 e^{x^3}\,dx

Tomamos:

u=x3,du=3x2 dxu=x^3,\quad du=3x^2\,dx

Entonces:

∫3x2ex3 dx=∫eu du=eu+C=ex3+C\int 3x^2 e^{x^3}\,dx=\int e^u\,du=e^u+C=e^{x^3}+C

Qué comprueba: si sabes detectar una función y su derivada dentro de la integral.

Ejercicio 4: integración por partes

Calcula:

∫xex dx\int x e^x\,dx

Usamos:

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du

Elige u=xu=x y dv=exdxdv=e^x dx. Entonces du=dxdu=dx y v=exv=e^x. Por tanto:

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C\int x e^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C

Resultado:

∫xex dx=ex(x−1)+C\int x e^x\,dx=e^x(x-1)+C

Qué comprueba: elección razonable de uu. En general, conviene derivar la parte que se simplifica.

Ejercicio 5: área bajo una curva

Calcula el área bajo f(x)=2xf(x)=2x entre x=0x=0 y x=3x=3.

∫032x dx=[x2]03=9\int_0^3 2x\,dx=\left[x^2\right]_0^3=9

El área es 99. No basta con integrar: hay que interpretar la integral definida como acumulación en un intervalo.

Ejercicio 6: integral con signo

Calcula:

∫−11x3 dx\int_{-1}^{1} x^3\,dx

La función x3x^3 es impar, así que el área positiva y negativa se compensan:

∫−11x3 dx=0\int_{-1}^{1} x^3\,dx=0

También se puede calcular:

[x44]−11=14−14=0\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0

Qué comprueba: diferencia entre integral definida y área geométrica total. Si te piden área encerrada, habría que partir intervalos y tomar valores absolutos cuando corresponda.

Cómo interpretar tu resultado

Si has fallado ejercicios 1 o 3, el problema principal es regla de la cadena. Si has fallado 2, falta interpretación geométrica de la derivada. Si has fallado 4, necesitas practicar elección de técnica. Si has fallado 5 o 6, revisa integrales definidas y significado de signo.

Nivel mínimo antes de un examen universitario

Antes de enfrentarte a problemas de Cálculo I deberías poder:

  • Derivar funciones compuestas sin perder factores.
  • Construir rectas tangentes.
  • Reconocer cambios de variable sencillos.
  • Aplicar integración por partes.
  • Interpretar integrales definidas.
  • Revisar si un resultado tiene sentido por signo, unidades o gráfica.

Para profundizar, puedes leer las guías sobre qué son las derivadas y qué son las integrales. Si quieres un diagnóstico más completo, revisa clases particulares de Matemáticas universitarias.

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